Question

齐次线性方程组解的问题

请问刘老师，有题目是这样的，已知其次线性方程组 ①ax1-3x2+3x3=0； 有无穷多解，求a的值。
②x1+(a+2)x2+3x3=0；
③2x1+x2-x3=0
我的做法是写出系数行列式，{a，-3，3} →{0，-3-a/2，3+a/2} →第一行提出（3+a/2）→{0，-1，1} →
{1，a+2,3} {0，a+3/2，7/2} {0，a+3/2,7/2}
{2，1，-1} {2，1，-1} {2，1，-1}
…→最后化成{0，-1，1} 则有该矩阵不满秩，推出a=-5。但是答案却是直接对行列式求值，得到a=-5或-6
{0，a+5，0}
{2，0，0}
所以我就怀疑我提出（3+a/2)项这步是错的，但是我看不出哪里错了，。所以想请教一下老师，到底哪里错了？提出通项或者乘以1/（3+a/2）对矩阵的秩有什么影响吗?行列式变换的时候要注意些什么问题？

Answer 1

非齐次线性方程组解的结构是由齐次通解加上特解组成的。

问题1：三个不同的解的线性组合是否仍是非齐次方程组的解，即a1+a2+2a3是否仍是Ax=b的解？
答：若a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么一般来讲，三个不同的解的线性组合不再是原非齐次方程组Ax=b的解（a1+a2+2a3不再是非齐次方程组Ax=b的解），除非a1,a2,a3前面的三个系数之和为1时，a1,a2,a3的线性组合才是原非齐次方程组Ax=b的解，即当l+m+n=1时，la1+ma2+na3才是原非齐次方程组Ax=b的解。
证明：∵a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解
∴Aa1=b，Aa2=b，Aa3=b
∴A(la1+ma2+na3)
=lAa1+mAa2+nAa3
=lb+mb+nb
=(l+m+n)b (当l+m+n=1时)
=b
∴la1+ma2+na3是原非齐次方程组Ax=b的解。

问题2：假设问题1是正确的，我自己已经求出了对应的通解，是否直接通解加上a1+a2+2a3就是非齐次的通解？
答：根据非齐次线性方程组解的结构定理可知，这种理解是正确的，但问题是在本题中，a1+a2+2a3不是原非齐次方程组Ax=b的解，所以还需另寻特解。

本题正确解法如下：
步骤一：判断齐次方程Ax=0的基础解系的个数
∵A是秩为3的5*4矩阵
∴齐次方程Ax=0的基础解系的个数是4-3=1
步骤二：求齐次方程Ax=0的通解
∵a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，
a1+a2+2a3=(2,0,0,0)^T，3a1+a2=(2,4,6,8)^T，
∴(3a1+a2)-(a1+a2+2a3)=(2a1-2a3)=(0,4,6,8)^T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系
∴齐次方程Ax=0的通解是：C(0,4,6,8)^T (C为任意常数)
步骤三：求非齐次方程Ax=b的特解
根据以上分析可知：a1+a2+2a3不是非齐次方程组Ax=b的解，
但(a1+a2+2a3)/4=a1/4+a2/4+a3/2=(1/2,0,0,0)^T是非齐次方程组Ax=b的解
∴根据非齐次线性方程组解的结构定理，非齐次方程Ax=b的最终通解是：
C(0,4,6,8)^T + (1/2,0,0,0)^T (C为任意常数)
请采纳。

Answer 2

问题出在 乘以1/（3+a/2）

当分母中有字母时, 注意分母不能等于0

所以第二步就应该分情况
当 3+a/2 = 0 时, 即 a=-6 时
....
当 3+a/2 不等于 0 时
......

另外, 若题目只是让判断何时有无穷多解, 用行列式方法更简单一些
若让求出通解, 你这个步骤比较好

Answer 3