Question

齐次线性方程组解的问题

齐次线性方程组Ax=0
秩（A）=r<n时有非零解，且有n-r个线性无关的解向量。

这句话怎么理解？

此外：
维数是指什么
跟秩的关系是什么？

THX

Answer 1

A是由齐次线性方程组中的系数项aij对应的位置组成的矩阵，n为未知数的个数。
秩（A）=r<n时有非零解：就是说齐次线性方程组要有非0解（即n个未知数的解不全为0）的充要条件系方程组系数对应的矩阵的秩要小于n
有n-r个线性无关的解向量：由秩（A）=r<n可知，方程组有无限多个解，由这些解（每个解可以看成是n维空间中的一个向量）构成的向量组，最多可以由n-r个解构成一个线性无关组，即若由n-r+1组成的向量组是一个线性相关组
维数：向量空间中的一个基所包含的向量的个数n称为维数，如三维空间中的一个基为{x,y,z}，由三个向量组成，所以称为三维。
维数是相对应向量空间来说，秩是相对应于矩阵来说，两者没有直接的联系。如果由n个n维线性无关的向量的系数构成的n阶矩阵，那么这个矩阵的秩为n

Answer 2

这个吗,是线性代数的一个基本定理
由Cramer法则,当行列式|A|!=0的时候,方程只有唯一解(0,0,0...0),当|A|=0的时候,一定有非零解,比如未知数n=5,r(A)=3,这个时候有非零解,同时有5-r(A)=2个线性无关的解向量,这2个线性无关的解向量是这样得出来的:
首先确定方程有5-r(A)=2两个自由变量,比如解的形式可能是
x1=x4+x5
x2=x4
x3=x5+2
上面的x4和x5就是自由变量,取x4和x5为非零的任意数值,如分别取(x4,x5)=(0,1)和(x4,x5)=(1,0),带入到上面的表达式,就可以得到两组线性无关的解向量.
维数就是表示整个空间最少的线性无关的向量的个数.
它和秩有些相同的地方,矩阵的秩表示矩阵与多少个线性无关的向量等价