Question

已知函数f(x)=kx-k+4,x≤1或x^2-(k+2)x+k+5,x>1. (k∈R)且y=f(x)在(-1,5)内有三个零点x1,x2，x3

求实数k的取值范围。
求x1^2+x2^2+x3^2的取值范围。

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Answer 1

解：
(1)当x≤1时，f(x)是一条直线。
令y=kx-k+4，得到：y-4=k(x-1)
可以看出，当y=4，x=1时，无论k是什么值，方程都成立
故直线y=kx-k+4恒过点(1,4)
且当x≤1时，f(x)与x轴最多只有一个交点。

当x≥1时，f(x)的图像为二次函数，它与x轴最多有两个交点
题给f(x)在（-1,5）上有三个交点，那么f(x)在(-1,1)上有一个交点，在(1,5)上有两个交点
故有：
f(-1)<0
f(1)=4>0
f(5)>0
f((k+2)/2)<0
(k+2)²-4(k+5)>0
k≠0
解得：2<k<4
(2)由(1)得：k≠0
不妨设x1<x2<x3，则x1<1≤x2<x3
当x≤1时，令f(x)=0，解得：x1=1-4/k
x2和x3为一元二次方程
x²-(k+2)x+(k+5)=0
的两个不等实根
故
x2^2+x3^2=(x2+x3)^2-2x2x3=(k+2)²-2(k+5)=k²+2k-6
当2<k<4时，1-4/k和k²+2k-6和随着k的增大而增大
易求得：2<k²+2k-6<18，-1<1-4/k<0
故有：1<[(1-4/k)+(k²+2k-6)<18
即：1<x1^2+x2^2+x3^2<18