Question

如图，直线AB与两坐标轴分别相交于A、B点，OA=OB=4，点M是线段AB上一动点（A、B两点除外），过M分别作MC

如图，直线AB与两坐标轴分别相交于A、B点，OA=OB=4，点M是线段AB上一动点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D．（1）写出直线AB的函数解析式；（2）设点M的横坐标为x，写出四边形OCMD的面积S与x的函数关系式，当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）探究：当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S，试求S与a的函数关系式，并画出该函数的图象．

Answer 1

（1）∵OA=OB=4，
∴点A（4，0）B（0，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

4k+b=0 b=4

，
解得

k=-1 b=4

，
所以，直线AB的函数解析式为y=-x+4；

（2）∵MC⊥OA，MD⊥OB，x轴⊥y轴，
∴四边形OCMD是矩形，
∴DM∥OA，
∴△BDM∽△BOA，
∴

BD

OB

=

DM

OA

，
即

4-OD

4

=

x

4

，
解得OD=4-x，
∴S=x（4-x）=-x²+4x，
所以，S与x的函数关系式为：S=-x²+4x（0＜x＜4），
∵S=-x²+4x=-（x²-4x+4）+4=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，S有最大值4，
此时M是AB的中点，
故，点M运动到AB的中点位置时，四边形OCMD的面积有最大值4；

（3）如图，∵直线AB的解析式为y=-x+4，
∴移动过程中正方形被分割出的三角形式等腰直角三角形，
由（2）可得，四边形OCMD为正方形时，4-x=x，
解得x=2，
所以，正方形的面积为：2²=4，
①当0＜a≤2时，重叠部分的面积=4-

1

2

a²，
②当2≤a＜4时，重叠部分的面积=

1

2

（4-a）（4-a）=

1

2

（4-a）²，
所以，S与a的函数关系式为S=

- 1 2 a2+4(0＜a≤2) 1 2 (a-4)2(2≤a＜4)

，
函数图象如图．