Question

设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±33x，且焦距为4，已知点A（1，12）（1）求双曲线的标准方程；（2

设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±33x，且焦距为4，已知点A（1，12）（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点A（1，12），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．

Answer 1

（1）设双曲线的标准方程为

y2

a2

?

x2

b2

＝1（a＞0，b＞0），则
∵双曲线渐近线方程为y=±

3

3

x，且焦距为4，
∴

a

b

＝

3

3

，c=2
∵c²=a²+b²
∴a=1，b=

3

∴双曲线的标准方程为y2?

x2

3

＝1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入双曲线方程可得y12?

x12

3

＝1，y22?

x22

3

＝1
两式相减，结合点A（1，

1

2

）为线段MN的中点，可得y1?y2?

2(x1?x2)

3

＝0
∴

y1?y2

x1?x2

=

2

3

∴直线L方程为y?

1

2

＝

2

3

(x?1)，即4x-6y-1=0．