Question

（2012?眉山一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CA=CB=CC1=2，M是BC的中点．（I）求证：A1

（2012?眉山一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CA=CB=CC1=2，M是BC的中点．（I）求证：A1C∥平面AB1M；（Ⅱ）求二面角B-AB1-M的大小；（Ⅲ）求点C1到平面AB1M的距离．

Answer 1

（I）证明：连接A₁B，交AB₁于O，连接OM
因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以O是A₁B的中点
因为O，M分别是A₁B和BC的中点，所以OM∥A₁C
因为A₁C?面AB₁M，OM?面AB₁M
所以A₁C∥面AB₁M
（Ⅱ）解：过点M作MN⊥AB于N，连接ON
∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴MN⊥平面ABB₁A₁，可知ON是OM在平面ABB₁A₁内的射影
又O是A₁B的中点，则OM⊥A₁B，∴AB₁⊥ON
故∠MON是二面角B-AB₁-M的平面角
∵CA=2，∴B1M＝

5

，AM＝

5

，AB₁=2

3

∴OM＝

2

，MN＝

2

2

在直角△OMN中，sin∠MON＝

MN

OM

＝

2 2

2

＝

1

2

∴二面角B-AB₁-M的大小为30°；
（Ⅲ）解：设点C₁到平面A