Question

设函数F(X)=ax^2+bx+c,且F(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证： a>0且-3<b/a<-3/4 请给详细过程

设函数F(X)=ax^2+bx+c,且F(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证：
a>0且-3<b/a<-3/4
请给详细过程，谢谢

Answer 1

(1)反证法易证a>0:
假设a≤0，则2b<2c<3a≤0，-3a≥0
由题意可知a+b+c=-a/2
即-3a=2(b+c)
左边为一非负数，右边为一负数，矛盾，故a>0.
(2)下面证明-3<b/a<-3/4:

∵2c＝-3a-2b，∴3a＞－3a－2b＞2b，
∵a>0，上不等式各边同除以a得：

-3- 2(b/a)<3…………①
且-3-2(b/a)＞2(b/a)…………②
由①得：b/a>-3
由②得：b/a<-3/4
综上所述：a>0且-3<b/a<-3/4

证毕。