Question

已知等比数列中,,.()求数列的通项公式;()设数列的前项和为,证明:;()设,...

已知等比数列中,,. ()求数列的通项公式; ()设数列的前项和为,证明:; ()设,证明:对任意的正整数,,均有.

Answer 1

()将已知变形,整理,转化成等差数列解决.()无法进一步化简,且原不等式为超越不等式,考虑借助于函数的单调性证明.()研究数列的单调喊简郑性,寻求最大项与最小项,或任两项差的绝对值变化郑颂情况.
解:()因为
所以
所以
()设
则故
,
所以所以所以()由已知
当时,,;当
时,,所以又因为
,,所以对任意的正整数,,均有的最大值为所以对任意的正整数,,均有.
本题考查等差数列的定义,数列的函数性质,不等式的证明方法-放缩法,要求具有较强咐亏的分析,解决,转化,计算等能力.