Question

证明：在连续的N个正整数中，有且仅有一个数被N整除。

为何这N个数分别除以N的余数必定是0、1、2、……（N-1） ？

Answer 1

如下：

假设假设某个数能被N整除，则该数可表示为kN、k、N是整数，那么连续以kN为中心，前后各N个连续整数可以写为kN-(N-1)、kN-(N-2)...kN-2、kN-1、kN、kN+1、kN+2、kN+N-2、kN+N-1。

令0<=|n|如除kN外,还有数能被N整除，则(kN+n)/N=k+n/N属于整数，其中k是整数，所以n/N要属于整数，因为0<=|n|所以原题得证。

相关信息：

在数学中，当一级运算（加减）和二级运算（乘除）同时在一个式子中时，它们的运算顺序是先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内后算括号外，同一级运算顺序是从左到右。这样的运算叫四则运算。

四则指加法、减法、乘法、除法的计算法则。一道四则运算的算式并不需要一定有四种运算符号，一般指由两个或两个以上运算符号及括号，把多数合并成一个数的运算。

Answer 2

因为这相当于一个周期。
假设从X开始
X
到X+N-1就相当于时钟上1点到12点
当X+N-1再加1的时候，为X+N，因为整除相当于X
所以X到X+N-1形成一个周期，一个周期内的某一个点，自然只出现一次，也就是一次整除

Answer 3

一个数被n除，得到的余数情况有n种，即余0、余1、余2……余（n-1）
由于是连续的n个正整数，所以这n个数分别除以n的余数必定是0、1、2、……（n-1），其中只有余数为0的能被n整除，所以得证。

Answer 4

反证法：
证明不可能有两个或者以上或者没有
关于：为何这N个数分别除以N的余数必定是0、1、2、……（N-1）
因为自然数列的加1递增！