Question

证明级数（sin nx）/n对于x属于0到2都收敛？

Answer 1

用欧拉公式。e^ix=cosx+isinx
e^-ix=cosx-isinx
（e^inx-e^-inx）/2i=sinnx
原式＝（e^inx-e^-inx）/2in
stolz，原式＝e^inx-e^-inx-e^（n-1）ix+e^-i（n-1）x/2i
求和。2i原式＝e^ix（e^nix-1）/［e^ix-1］-e^-ix（e^-inx-1）/（e^-ix-1）-1×［e^inx-1］/（e^ix-1）+1×［e^-inx-1］/（e^-ix-1）＝［e^ix（n+1）-e^ix+1-e^inx+e^-inx-1-e^-i（n-1）x+e^ix］/（e^ix-1）=［e^ix（n+1）-e^inx+e^-inx-e^-i（n-1）x］/（e^ix-1）=［e^i（2n+1）x-e^2inx+1-e^ix］/［e^（n+1）ix-e^inx］=cos（2n+1）x+isin（2n+1）x-cos2nx-isin2nx+1-cosx-isinx/cos（n+1）x+isin（n+1）x-cosnx-isinnx=（cos2nx+isin2nx）（cosx-1+isinx）/（cosnx+isinnx）（cosx-1-sinx）=（cos2nx+isin2nx）/（cosnx+isinnx）=e^i2nx/e^inx=e^inx