Question

A是实矩阵且A+A' 正定 证明：|A |>0

Answer 1

设λ是A(在复数域中)的一个特征值,X是属于λ的一个(复)特征向量,即有AX = λX (X ≠ 0).
设μ是λ的复共轭,Y是X的复共轭,由A是实矩阵,可知AY = μY.
设X = U+iV,其中U.V均为实向量,则Y = U-iV.
由B = A+A'正定,可知Y'BX = (U'-iV')B(U+iV) = U'BU+V'BV > 0 (由B对称,U'BV = V'BU).
得Y'AX+Y'A'X > 0,即(λ+μ)Y'X > 0,由Y'X = U'U+V'V > 0,即得2Re(λ) = λ+μ > 0.
于是A的实特征值均为正实数.
另一方面,A的虚特征值成对,而一对非零共轭复数的乘积大于零.
因此|A| = A的全体特征值乘积 > 0.