Question

已知a b都是正数，并且a≠b，求证：a 5 +b 5 ＞a 2 b 3 +a 3 b 2 .

Answer 1

思路分析：证明不等式时，作差比较是最基本的方法，关键在于提取公因式分解因式，对于立方和、立方差、平方差的分解要能熟练运用，通过判断每个因式的符号确定差的符号.

证明：(a ⁵ +b ⁵ )-(a ² b ³ +a ³ b ² )=(a ⁵ -a ³ b ² )+(b ⁵ -a ² b ³ )

=a ³ (a ² -b ² )-b ³ (a ² -b ² )=(a ² -b ² )(a ³ -b ³ )

=(a+b)(a-b) ² (a ² +ab+b ² ).

∵a b都是正数，∴a+b a ² +ab+b ² ＞0.

又∵a≠b，∴(a-b) ² ＞0，∴(a+b)(a-b) ² (a ² +ab+b ² )＞0

即a ⁵ +b ⁵ ＞a ² b ³ +a ³ b ² .