Question

已知a,b是正数,并且a不等于b,求证a^5+b^5>a^2b^3+a^3b^2.

请给出详细过程.

Answer 1

证明：作差比较
a^5+b^5 -（a^2b^3+a^3b^2）
=a^5 - a^3b^2 +b^5 -a^2b^3
=a³(a²-b²)+b³(b²-a²)
=(a³-b³)(a²-b²)
=(a-b)(a²+ab+b²)(a+b)(a-b)
=(a-b)²(a²+ab+b²)(a+b)
因为a>0，b>0，且a≠b，所以：
(a-b)²>0，a²+ab+b²>0，a+b>0
所以：(a-b)²(a²+ab+b²)(a+b)>0
即：a^5+b^5 -（a^2b^3+a^3b^2）>0
所以：a^5+b^5 > a^2b^3+a^3b^2

Answer 2

因为a^5+b^5-(a^2b^3+a^3b^2)=a^5-a^2b^3+b^5-a^3b^2=a^2(a^3-b^3)+b^2(b^3-a^3)=(a^3-b^3)(a^2-b^2)=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)(a+b)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)(a+b)因a,b是正数,并且a不等于b，故a-b＞0，a^2+b^2+ab＞0，a+b＞0所以(a-b)^2(a^2+ab+b^2)(a+b)＞0即a^5+b^5-(a^2b^3+a^3b^2)＞0所以a^5+b^5>a^2b^3+a^3b^2