Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1，A1B1的中点． （Ⅰ）求异面直线DE与FC1所成

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1，A1B1的中点． （Ⅰ）求异面直线DE与FC1所成的角的余弦值；（II）求BC1和面EFBD所成的角；（ III）求B1到面EFBD的距离．

Answer 1

解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系D-xyz，记异面直线DE与FC₁所成的角为α，则α等于向量

DE

，

FC1

的夹角或其补角，
∵E、F分别是棱A₁D₁，A₁B₁的中点，D（0，0，0），E（1，0，2），F（2，1，2），C₁（0，2，2）
∴

DE

=(1，0，2)，

FC1

=(-2，1，0)
∴cosα=|

. DE ? . FC1

| . DE || . FC1 |

|=|

-2

5 5

|=

2

5

（II）由题意，

DE

=(1，0，2)，

DB

=(2，2，0)
设面EFBD的法向量为

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