Question

已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列{an?12n}为等差数列；（2）求数列

已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列{an?12n}为等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵数列{

an?1

2n

}为等差数列
设bn＝

an?1

2n

，b1＝

5?1

2

＝2bn+1?bn＝

an+1?1

2n+1

?

an?1

2n

=

1

2n+1

[(an+1?2an)+1]=

1

2n+1

[(2n+1?1)+1]=1，（6分）
可知，数列{

an?1

2n

}为首项是2、公差是1的等差数列．（7分）
（2）由（1）知，

an?1

2n

＝

a1?1

2

+(n?1)×1，
∴a_n=（n+1）?2ⁿ+1．（8分）
∴S_n=（2?2¹+1）+（3?2²+1）+…+（n?2^n-1+1）+[（n+1）?2ⁿ+1]．
即S_n=2?2¹+3?2²+…+n?2^n-1+（n+1）?2ⁿ+n．
令T_n=2?2¹+3?2²+…+n?2^n-1+（n+1）?2ⁿ，①
则2T_n=2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹．②（12分）
②-①，得T_n=-2?2¹-（2²+2³++2ⁿ）+（n+1）?2ⁿ⁺¹=n?2ⁿ⁺¹．
∴S_n=n?2ⁿ⁺¹+n=n?（2ⁿ⁺¹+1）．（15分）