如图,点E(-4,0),以点E为圆心,2为半径的圆与x轴交于A、B两点,抛物线y=16x2+bx+c过点A和点B,与y轴
如图,点E(-4,0),以点E为圆心,2为半径的圆与x轴交于A、B两点,抛物线y=16x2+bx+c过点A和点B,与y轴交于C点.(1)求抛物线的解析式;(2)求出点C的...
如图,点E(-4,0),以点E为圆心,2为半径的圆与x轴交于A、B两点,抛物线y=16x2+bx+c过点A和点B,与y轴交于C点.(1)求抛物线的解析式;(2)求出点C的坐标,并画出抛物线的大致图象;(3)点Q(m,163)(m<0)在抛物线y=16x2+bx+c的图象上,点P为此抛物线对称轴上的一个动点,求PQ+PB的最小值;(4)CF是圆E的切线,点F是切点,在抛物线上是否存在一点M,使△COM的面积等于△COF的面积?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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解答:解:(1)∵⊙E的半径为2,
∴点E的坐标为(-4,0)易知A(-2,0),B(-6,0)
∵抛物线过点A和B,
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=
x2+
x+2;(2分)
(2)∵抛物线y=
x2+
x+2与y轴交于点C,
令x=0,y=
×02+
×0+2=2,
∴C(0,2)
作图象如右;(4分)(未作图的给3分)
(3)∵Q(m,
),
∴
=
m2+
m+2
整理为m2+8m-20=0,
即m1=2,m2=-10
∵m<0,则m=-10
∴Q(-10,
)(5分)
∵y=
(x+4)2-
,
又∵A(-2,0)与B(-6,0)
关于x=-4对称,则PQ+PB的最小值就是QA的长度
∴PQ+PB=PA+PQ=QA=
=
;(6分)
(4)解法一:连接EF,
∵EF=2,在Rt△COD与Rt△EFD中,EF=CO=2
又∵∠CDO=∠EDF,
∴Rt△COD≌Rt△EFD
设OD=-x,则ED=CD=4+x,在Rt△COD中22+(-x)2=(4+x)2,则XF=-1.5
∴CD=4-1.5=2.5,设∠OCD=∠1,则sin∠1=
=
.
设X1=α
又∵CF=
=
=4,
∴
=
=sin∠1,
∴
=
∴a=-
=-2.4(8分)
又S△COF=S△COM,
∵CO=CO,三角形同底则只要高相等,则S△COF=S△COM
∴xM=XF或XM=-XF,
故存在xM1=2.4或xM2=-2.4
yM1=
×-2.42+
x-2.4+2=-0.24,
yM2=
×2.42+
×2.4+2=6.16
∴M的坐标为M1(-2.4,-0.24),M2(2.4,6.16)(10分)
解法二:如图过F点作y轴的垂线交y轴于G点,由△COD≌△EFD?CD=ED
设OD=xED=CD=4-x,
则有(4-x)2-x2=22?x=1.5又CF=
=4(7分)
又∵Rt△COD≌Rt△EFD,CD=DE,OD=DF
∴
=
?GF=
=2.4(8分)
若S△COF=S△COM,故M点到底边CO的高为2.4,则存在xM1=2.4或xM2=-2.4
当xM1=-2.4时,yM1=
×(-2.4)2+
×(-2.4)+2=-0.24,
∴M1(-2.4,-0.24)xM2=2.4时,yM2=
×2.42+
×2.4+2=6.16,
∴M2(2.4,6.16)(10分)
如果有其它不同解法,可依据解法一或解法二的得分标准给分.
∴点E的坐标为(-4,0)易知A(-2,0),B(-6,0)
∵抛物线过点A和B,
∴
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解得
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∴抛物线的解析式为y=
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(2)∵抛物线y=
1 |
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令x=0,y=
1 |
6 |
4 |
3 |
∴C(0,2)
作图象如右;(4分)(未作图的给3分)
(3)∵Q(m,
16 |
3 |
∴
16 |
3 |
1 |
6 |
4 |
3 |
整理为m2+8m-20=0,
即m1=2,m2=-10
∵m<0,则m=-10
∴Q(-10,
16 |
3 |
∵y=
1 |
6 |
2 |
3 |
又∵A(-2,0)与B(-6,0)
关于x=-4对称,则PQ+PB的最小值就是QA的长度
∴PQ+PB=PA+PQ=QA=
(10?2)2+(
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8 |
3 |
13 |
(4)解法一:连接EF,
∵EF=2,在Rt△COD与Rt△EFD中,EF=CO=2
又∵∠CDO=∠EDF,
∴Rt△COD≌Rt△EFD
设OD=-x,则ED=CD=4+x,在Rt△COD中22+(-x)2=(4+x)2,则XF=-1.5
∴CD=4-1.5=2.5,设∠OCD=∠1,则sin∠1=
1.5 |
2.5 |
3 |
5 |
设X1=α
又∵CF=
CE2?EF2 |
20?4 |
∴
XF |
CF |
?a |
4 |
∴
?a |
4 |
3 |
5 |
∴a=-
12 |
5 |
又S△COF=S△COM,
∵CO=CO,三角形同底则只要高相等,则S△COF=S△COM
∴xM=XF或XM=-XF,
故存在xM1=2.4或xM2=-2.4
yM1=
1 |
6 |
4 |
3 |
yM2=
1 |
6 |
4 |
3 |
∴M的坐标为M1(-2.4,-0.24),M2(2.4,6.16)(10分)
解法二:如图过F点作y轴的垂线交y轴于G点,由△COD≌△EFD?CD=ED
设OD=xED=CD=4-x,
则有(4-x)2-x2=22?x=1.5又CF=
CE2?EF2 |
又∵Rt△COD≌Rt△EFD,CD=DE,OD=DF
∴
CD |
DF |
OD |
GF |
4×1.5 |
2.5 |
若S△COF=S△COM,故M点到底边CO的高为2.4,则存在xM1=2.4或xM2=-2.4
当xM1=-2.4时,yM1=
1 |
6 |
4 |
3 |
∴M1(-2.4,-0.24)xM2=2.4时,yM2=
1 |
6 |
4 |
3 |
∴M2(2.4,6.16)(10分)
如果有其它不同解法,可依据解法一或解法二的得分标准给分.
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