Question

已知函数f（x）=13x3+12ax2+x+b（a≥0）为函数f（x）的导函数．（1）若f（x）在x=-3处取到极大值-2，求a

已知函数f（x）=13x3+12ax2+x+b（a≥0）为函数f（x）的导函数．（1）若f（x）在x=-3处取到极大值-2，求a，b的值；（2）若函数g（x）=e-ax?f′（x），求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

（1）因为f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+x+b（a≥0），
所以f′（x）=x²+ax+1．
因为f（x）在x=-3处取到极大值-2，
所以

f′(?3)＝0 f(?3)＝?2

，即

9?3a+1＝0 ?9+ 9 2 a?3+b＝?2

，
解得a=

10

3

，b=-5．
（2）由（1）可得：f′（x）=x²+ax+1，
所以g（x）=e^-ax?f′（x）=

x2+ ax+1

eax

（x∈R），
所以g′（x）=-x[ax+（a²-2）]e^-ax=-ax[x-（

2

a

?a）]e^-ax．
①当a=0时，g′（x）=2x，
所以g（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．
②当a＞0时，令g′（x）=0解得x=0或x=

2

a

?a．
（i）当

2

a

?a＞0时，即0＜a＜

2

时，
则g′（x）＞0的解集为(0，

2

a

?a)，g′（x）＜0的解集为（-∞，0），（

2

a

?a，+∞），
所以g（x）的单调递增区间为(0，

2

a

?a)，单调递减区间为（-∞，0），（

2

a

?a，+∞）．
（ii）当

2

a

?a＝0，即a=

2

时，则g′（x）=?

2

x2e?

2

x≤0，
所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
（iii）当

2

a

?a＜0，即a＞

2

时，
则g′（x）＞0的解集为(

2

a

?a，0)，g′（x）＜0的解集为（-∞，

2

a

?a），（0，+∞）．
所以g（x）的单调递增区间为(

2

a

?a，0)，单调递减区间为（-∞，

2

a

?a），（0，+∞）．
总上所述：
当a=0时，g（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．
当0＜a＜

2

时，g（x）的单调递增区间为(0，

2

a

?a)，单调递减区间为（-∞，0），（

2

a

?a，+∞）．
当a=

2

时，g（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
当a＞

2

时，g（x）的单调递增区间为(

2

a

?a，0)，单调递减区间为（-∞，

2

a

?a），（0，+∞）．