Question

如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，-b），直线AF与椭圆的右准

如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，-b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点．（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线AB与圆x2+y2=2相切，求椭圆C的方程．

Answer 1

解 （1）因为B在右准线x=

a2

c

上，且F（c，0）恰好为线段AB的中点，
所以2c=

a2

c

，…（2分）
即

c2

a2

=

1

2

，所以椭圆的离心率e=

2

2

．         …（4分）
（2）由（1）知a=

2

c，b=c，所以直线AB的方程为y=x-c，即x-y-c=0，…（6分）
因为直线AB与圆x²+y²=2相切，所以

|c|

2

=

2

，…（8分）
解得c=2．所以a=2

2

，b=2．
所以椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．           …（10分）