Question

二重积分高数老题目∫∫e^(x+y)dxdy, 其中D:|X|+|Y|<=1所围成的区域。欢迎高手进。

我有些糊涂记不清了：
（这个是错的我知道）
积分域关于x,y轴都对称，所以只计算第一象限的部分再乘以4即可 |x|+|y|<=1,0<=x<=1-y,0<=y<=1, 化为累次积分 ∫∫D e^x+y dxdy =4∫(0,1)dy∫(0,1-y)e^(x+y)dx = 4e-4e-0+4=4 （错的）
但是为什么？ 记不清了…………

还有一个错误做法：
直接拆开为两个定积分 ∫e^xdx ∫e^ydy （上下限都是1到-1） 结果易得是（e-e^-1）^2. 哪里错了？？

下面是正确的：(这个我懂，就是想知道那两种究竟为什么错………………)
我想起来了 好像被积函数不是奇偶函数。 所以不能直接乘4.
这种做法怎么理解：
∫∫D e^(x+y) dxdy D为|X|+|Y|<=1所围成的区域 .
u=x+y,v=x-y,D1={-1<=u<=1,-1<=v<=1}
I=∫∫D e^(x+y) dxdy =
=1/2∫∫D1 e^u dudv=
=1/2[∫{-1->1}dv][∫{-1->1}e^u du=
=e-e^(-1).





Answer 1

4∫(0,1)dy∫(0,1-y)e^(x+y)dx 这个最好分两块，分四块并不是每块都相等，
∫e^xdx ∫e^ydy这样化简是有条件的，两者要无关，解释你可以想想概率论里，二项分布与边缘分别的方差

追问

概率论还没有学。。。
二重积分若化为两个定积分的乘积,必须满足两个条件：
a．被积函数 u(x,y)=f(x)*g(y)
b．累次积分的积分上下限都是常数
好像满足吧。 有没有这两个条件的这个说法呢？？
第一个错误我刚才知道了。不是分为两块的问题，而是不能用奇偶性质去做的。

追答

1、∫e^xdx ∫e^ydy （上下限都是1到-1）,你这样求的是一个x从-1...1，y从-1...1的正方形区域，和所求区域是不同的。

2、书上条件是怎么写的我忘了，但就所求的区域而言，并不是上下限都为常数

3、这道不满足奇偶性，但满足轮换对称性（x,y换位置积分不变），这道题用不上，以后考试肯定用的上

Answer 2

最后那一种做法是二重积分的换元法，记住公式就好了，书上也没给出证明，不能发图片，打字太慢了，可以直接搜索二重积分的换元法查看

Answer 3

因为二重积分的对称性要先看积分区域D是否对称，再考虑f的奇偶性。因为e的x+y次方非奇非偶，所以不能用对称性来简化计算。

Answer 4

我记得当时我学的那会儿好像是这么理解的：不是算面积啊，是近似的并不相等，要考虑积分上下限的问题吧，不能只找一个上下限

Answer 5