Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．在整个运动过程中,设△PCQ的面积为S平方单位,请写出S与T之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围。（求解题过程）

Answer 1

（1）7。
（2）点P从B到C的时间是3秒，此时点Q在AB上，则
当时，点P在BC上，点Q在CA上，若△PCQ为等腰三角形，则一定为等腰直角三角形，有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1。
当时，点P在BC上，点Q在AB上，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1），则点Q在PC的中垂线上。

作QH⊥AC，则QH=PC，△AQH∽△ABC，
在Rt△AQH中，AQ=2t﹣4，
则。
∵PC=BC﹣BP=3﹣t，
∴，解得：。
综上所述，在点P从点B到点C的运动过程中，当t=1或时，△PCQ为等腰三角形。
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，
则PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即。
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：，
∴。
∴当t=5时，s有最大值，此时，P是AC的中点（如图2）。
∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，
∴PD一定是AC的中垂线。
∴AP=CP=AC=2，PD=BC=。
∴AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4。
如图2，连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积。

则QE=AQ=×4=，EA=AQ=×4=。
∴EP=，CE=。
设FP=x，FO=y，则CF=。
由△CFO∽△CPD得，即，∴。
由△PFO∽△PEQ得，即，∴。解得：。
∴△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积。

试题分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得：
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴根据勾股定理得AC=4。
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒，此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5。
根据题意得：，解得：t=7。
（2）因为点P从B到C的时间是3秒，此时点Q在AB上，所以分（点P在BC上，点Q在CA上）和（点P在BC上，点Q在AB上）两种情况进行讨论求得t的值。
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t﹣3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得s最大时t的值，此时，P是AC的中点，直线PD折叠，使点A落在直线PC上，则PD一定是AC的中垂线。因此，连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积。应用△CFO∽△CPD和△PFO∽△PEQ得比例式求出OF的长即可求得△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积。

追问

我的第三问是求函数关系式和取值范围，而不是你所说的折叠部分的面积

追答

（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得；
（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t﹣3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．
解答：
解：（1）在直角△ABC中，AC==4，
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5．
根据题意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7．
（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒．
则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1．
当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=PC．△AQH∽△ABC，
在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，则QH=AQ=．
∵PC=BC﹣BP=3﹣t，
∴×（2t﹣4）=3﹣t，
解得：t=；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：（14﹣2t），
故s=（2t﹣9）×（14﹣2t）=（﹣t2+10t﹣2）．
故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．
∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，
∴PD一定是AC的中垂线．
则AP=AC=2，PD=BC=，
则S△APD=AP•PD=×2×=．
AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4．
则PC边上的高是：AQ=×4=．
则S△PCQ=PC•=×2×=．
故答案是：7．

Answer 2

自己好好想一想