Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足 a 1 = 1 2 ，a n +2S n S n-1 =0（n≥2）．（Ⅰ）

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足 a 1 = 1 2 ，a n +2S n S n-1 =0（n≥2）．（Ⅰ）问：数列 { 1 S n } 是否为等差数列？并证明你的结论；（Ⅱ）求S n 和a n ．

Answer 1

（Ⅰ）数列 { 1 S n } 是以2为首项，2为公差的等差数列．证明如下： ∵n≥2时，a n +2S n S n-1 =0，∴S n -S n-1 +2S n S n-1 =0 ∴ 1 S n - 1 S n-1 =2 ∵ a 1 = 1 2 ，∴ 1 S 1 =2 ∴数列 { 1 S n } 是以2为首项，2为公差的等差数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 S n =2+2（n-1）=2n，∴S n = 1 2n ； ∵n≥2时，a n +2S n S n-1 =0， ∴a n =-2× 1 2n × 1 2(n-1) = 1 2n(1-n) ∴a n = 1 2 ，n=1 1 2n(1-n) ，n≥2 ．