Question

（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1-x）=1-x2，（1-x）（1+x+x2）=1-x3，（1-x）（1+x+x2+x3）=1-x4

（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1-x）=1-x2，（1-x）（1+x+x2）=1-x3，（1-x）（1+x+x2+x3）=1-x4．（1）观察以上各式并猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1-2）（1+2+22+23+24+25）=______．②（x-1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=______．③2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．

Answer 1

（1）（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）①原式=1-2⁶=-63；
②原式=-（1-x）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-1+x¹⁰⁰；
③原式=2（1+2+2²+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+…+2^n-1）=-2（1-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2．
故答案为：（1）1-xⁿ⁺¹；（2）①-63；②-1+x¹⁰⁰；③2ⁿ⁺¹-2