如图，已知直线a的解析式为y=3x+6，直线a与x轴．y轴分别相交于A．B两点，直线b经过B．C两点，点C的坐标为
如图，已知直线a的解析式为y=3x+6，直线a与x轴．y轴分别相交于A．B两点，直线b经过B．C两点，点C的坐标为（8，0）．直线a沿x轴正方向平移m个单位（0＜m＜10...
如图，已知直线a的解析式为y=3x+6，直线a与x轴．y轴分别相交于A．B两点，直线b经过B．C两点，点C的坐标为（8，0）．直线a沿x轴正方向平移m个单位（0＜m＜10）得到直线a′，直线a′与x轴．直线b分别相交于点M．N．（1）求sin∠BCA的值；（2）当△MCN的面积为152时，求直线a′的函数解析式；（3）将△MCN沿直线a′对折得到△MC′N，把△MC′N与四边形AMNB的重叠部分面积记为S，求S关于m的函数解析式，并求当S最大时四边形MCNC′的周长．
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（1）对于y=3x+6，可求B（0，6）．（1分）
∴OB=6，
∵C（8，0），
∴OC=8．
∴BC=
=10．（1分）
∴sin∠BCA=
=
=
．（1分）
（2）由y=3x+6可求A（-2，0），
∴AC=BC=10．
∴S△ABC=
AC×OB=
×10×6=30．（1分）
∵a′∥a，
∴△MCN∽△ABC．（1分）
∴
=（
）2，
∵S△MCN=
，
∴
=
．（1分）
∴MC=5．
∴M（3，0）．（1分）
设a′为y=3x+b，代入M（3，0）得b=-9．
∴直线a′解析式为y=3x-9．（1分）
（3）由（2）可知，当m=5时，点C′正好在AB上．
∴当5≤m≤10时，点C′在△ABC内，如图所示．
此时，重叠部分面积S=S△MC′N=S△MCN
=（
）2?S△ABC=30×（
）2=
（10-m）2，（2分）
当0≤m≤5时，点C′在△AB外内，如图所示．
∵AC=BC=10，
∴△ABC是等腰三角形，易知△AEM，
△BFN，△MCN都是与△ABC相似的等腰三角形．（1分）
∴S△AEM=（
）2?S△ABC=S△BFN，S△MCN=（
）2?S△ABC，
∴重叠部分面积S=30-（
）2×30×2-（
）2×30，
=6m-
m2（1分）
综上可知：S＝
∴OB=6，
∵C（8，0），
∴OC=8．
∴BC=
| 62+82 |
∴sin∠BCA=
| OB |
| BC |
| 6 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
（2）由y=3x+6可求A（-2，0），
∴AC=BC=10．
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵a′∥a，
∴△MCN∽△ABC．（1分）
∴
| S△MCN |
| SACB |
| MC |
| AC |
∵S△MCN=
| 15 |
| 2 |
∴
| MC |
| AC |
| 1 |
| 2 |
∴MC=5．
∴M（3，0）．（1分）
设a′为y=3x+b，代入M（3，0）得b=-9．
∴直线a′解析式为y=3x-9．（1分）
（3）由（2）可知，当m=5时，点C′正好在AB上．
∴当5≤m≤10时，点C′在△ABC内，如图所示．
此时，重叠部分面积S=S△MC′N=S△MCN
=（
| MC |
| AC |
| 10?m |
| 10 |
| 3 |
| 10 |
当0≤m≤5时，点C′在△AB外内，如图所示．
∵AC=BC=10，
∴△ABC是等腰三角形，易知△AEM，
△BFN，△MCN都是与△ABC相似的等腰三角形．（1分）
∴S△AEM=（
| m |
| 10 |
| 10?m |
| 10 |
∴重叠部分面积S=30-（
| m |
| 10 |
| 10?m |
| 10 |
=6m-
| 9 |
| 10 |
综上可知：S＝
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