Question

已知Sn是数列{an}的前n项和，并且a1=1，对任意正整数n，Sn+1=4an+2；设bn=an+1-2an（n=1，2，3，…）．（

已知Sn是数列{an}的前n项和，并且a1=1，对任意正整数n，Sn+1=4an+2；设bn=an+1-2an（n=1，2，3，…）．（I）证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；（II）设Cn＝bn3，Tn为数列{1log2Cn+1?log2Cn+2}的前n项和，求Tn．

Answer 1

（I）∵S_n+1=4a_n+2，∴S_n=4a_n-1+2（n≥2），
两式相减：a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），∴a_n+1=4（a_n-a_n-1）（n≥2），∴b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n+1=a_n+2-2a_n+1=4（a_n+1-a_n）-2a_n+1，b_n+1=2（a_n+1-2a_n）=2b_n（n∈N*），
∴

bn+1

bn

＝2，∴{b_n}是以2为公比的等比数列，（4分）
∵b₁=a₂-2a₁，而a₁+a₂=4a₁+2，∴a₂=3a₁+2=5，b₁=5-2=3，
∴b_n=3?2^n-1（n∈N*）（7分）
（II）Cn＝

bn

3

＝2n?1，
∴

1

log2Cn+1?log2Cn+2

＝

1

log22n?log22n+1

＝

1

n(n+1)

，（9分）
而

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

，
∴Tn＝(1?

1

2

) +(

1

2

?

1

3

) +…+ (

1

n

?

1

n+1

)＝1?

1

n+1

（12分）