Question

计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)

Answer 1

解：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)

=（1^2+1）+（2^2+2）+（3^2+3）+…（n^2+n）

=（1^2+2^2+3^2+...+n^2）+（1+2+3+...+n）

而，1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1+2+3+...+n=n(n+1)/2

则：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)

=（1^2+2^2+3^2+...+n^2）+（1+2+3+...+n）

=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=1/3*n*（n+1）*（n+2）

扩展资料：

数列求和的方法

1、公式法

（1）等差数列求和公式：Sn=1/2*n（a1+an）=d/2*n+（a1-d/2）*n

（2）等比数列求和公式：Sn=na1（q=1）、Sn=a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）

（3）平方和公式：（1^2+2^2+3^2+...+n^2）=n(n+1)(2n+1)/6

2、错位相减法

3、倒序相加法

4、分组法

5、裂项相消法

参考资料来源：百度百科-数列求和

Answer 2

1×2＝1/3（1×2×3 - 0×1×2）
2×3=1/3（2×3×4 - 1×2×3）
3×4=1/3（3×4×5 - 2×3×4）
.........
n（n+1）＝1/3[n×(n+1)×(n+2) - (n-1)×n×(n+1)]
所以1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）
＝1/3[1×2×3 - 0×1×2+2×3×4 - 1×2×3+3×4×5 - 2×3×4+.....+n×(n+1)×(n+2) - (n-1)×n×(n+1)]
=1/3[ - 0×1×2+1×2×3 - 1×2×3+2×3×4 - 2×3×4+3×4×5+..... - (n-1)×n×(n+1)+n×(n+1)×(n+2）]
=1/3[n×(n+1)×(n+2）]