Question

函数y＝xsinx在区间内是否有界

Answer 1

无界。

简介

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

Answer 2

x的区间是整个实数集
当x趋于0，y趋于0
当x趋于无穷，y无界，但极限不存在

Answer 3

无界 比如x趋于无穷大 sinx=1时

Answer 4

这个函数的值域是全体实数，所以这个函数是无界函数。
当x=2kπ+π/2（k是整数）时，sinx=1，这时候y=x，所以当x→+∞时，y的某些点可以无限增加到+∞
当x→-∞时，y的某些点可以无限减小到-∞，又因为这个函数是连续函数，所以y可以取得±∞之间的所有数，即全体实数。所以这个函数无界。
但是当x=kπ（k是整数）时。sinx=0，y=0。所以无论正数m取多大，都有|x|＞m且符合x=kπ（k是整数）的x使得y=xsinx=0成立，所以对于任意正数k，无论取多大的m，当|x|＞m时，都有一些x取值使得y=xsinx=0，无法使|y|≥k恒成立。所以当x→∞时，y的极限不是无穷大。