Question

讨论f(z)=z|z|的可导性与解析性,并求出可导点处的导数值

Answer 1

z=x+iy
设f(x)=u(x,y)+iv(x,y)
可导=可微=解析函数=充要条件（在(x,y)点处）：
1.二元函数在u,v在(x,y)可微
2.u,v在点(x,y)处满足柯西-黎曼方程（c-r方程）.
容易验证你的函数不满足c-r方程.

Answer 2

：设z=x+iy。
f(z)=z(共轭)*z*z=(x^2+y^2)x+i(x^2+y^2)y=u+iv。u=(x^2+y^2)x，v=(x^2+y^2)y，在xy平面处处可导
偏u偏x=3x^2+y^2；偏u偏y=2xy；偏v偏y=x^2+3y^2；
偏v偏x=2xy
只在（0,0）处满足柯西黎曼条件。
所以f(z)处处不解析，在原点可导