Question

如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,请你用学过的知识说明:AB^2-AP^2=PB*PC

Answer 1

在AC上取点D，使角APD=角C
因为 角APD=角C，角PAD=角CAP
所以 三角形APD相似于三角形ACP
所以 AP/AC=AD/AP
所以 AP^2=AC*AD
因为 AB=AC
所以 角B=角C
因为 角APD=角C
所以 角B=角APD
因为 角APC=角B+角BAP=角APD+角CPD
所以 角BAP=角CPD
因为 角B=角C
所以 三角形BAP相似于三角形CPD
所以 AB/PC=PB/DC
所以 AB*DC=PB*PC
因为 DC=AC-AD，AB=AC
所以 AB*DC=AB*(AB-AD)=AB^2-AB*AD
因为 AP^2=AC*AD，AB=AC
所以 AP^2=AB*AD
因为 AB*DC=AB^2-AB*AD
所以 AB*DC=AB^2-AP^2
因为 AB*DC=PB*PC
所以 AB^2-AP^2=PB*PC

另证：
取BC中点O，连接AO，则AO⊥BC
所以 AB^2=BO^2+AO^2，AP^2=PO^2+AO^2
所以 AB^2-AP^2=BO^2-PO^2=(BO+PO)*(BO-PO)
因为 BO=CO，设P在BO上
所以 BO+PO=CO+PO=PC，BO-PO=PB
所以 (BO+PO)*(BO-PO)=PB*PC
因为 AB^2-AP^2=(BO+PO)*(BO-PO)
所以 AB^2-AP^2=PB*PC

Answer 2

做BC中点O。
则AO⊥BC，BO=CO.
AO的平方=AB的平方-BO的平方，
还等于AP的平方-PO的平方。
∴AB的平方-BO的平方=AP的平方-PO的平方
∴AB的平方-AP的平方=BO的平方-PO的平方
∴AB的平方-AP的平方=（BO+PO)(BO-PO)
=（CO+PO)(BO-PO)
=PB*PC