Question

求幂级数的收敛域和和函数。

Answer 1

求解收敛域
lim(1/[(n+1)3^(n+1)]/(1/n·3^n)=1/3，故收敛半径为3当x=3时，为调和级数，发散当x=-3时.为收敛的交错级数收敛域为[-3，3)
求解和函数，先对幂级数求导xn/n(3^n)=x^(n-1)/3^n
求和是等比数列，公比是x/3.首项是1/3，n趋于正无穷，
求和是1/(3-x)再积分回去，就是ln、3-x、就是幂级数的和函数

Answer 2

收敛半径 R = lim<n→∞> a<n>/a<n+1>
= lim<n→∞> (n+)3^(n+1)/(n3^n) = 3,
x = -3 时，级数为 ∑<n=1, ∞>(-1)^n/n 收敛；
x = 3 时，级数为 ∑<n=1, ∞>1/n 发散。收敛域 x∈[-3, 3).
记 S(x) = ∑<n=1, ∞>(x/3)^n/n,
则 S'(x) = (1/3)∑<n=1, ∞>(x/3)^(n-1) = (1/3)/[1-(x/3)] = 1/(3-x), x∈[-3, 3).
得 S(x) = ∫<0, x> S'(t)dt + S(0) = ∫<0, x>dt/(3-t) + 0
= -∫<0, x>d(3-t)/(3-t) = -[ln(3-t)]<0, x> = ln3 - ln(3-x), x∈[-3, 3)