Question

求证Cn1-2Cn2+3Cn3+……+(-1)nCnn=0 怎么证明？

Answer 1

要证明等式C(n,1) - 2C(n,2) + 3C(n,3) - ... + (-1)^nC(n,n) = 0，我们可以使用二项式定理和数学归纳法来进行证明。
首先，我们回顾二项式定理：
(x + y)^n = C(n,0)x^n*y^0 + C(n,1)x^(n-1)y^1 + C(n,2)x^(n-2)y^2 + ... + C(n,n-1)x^1y^(n-1) + C(n,n)x^0y^n
我们将x设置为1，y设置为-1，并将其代入二项式定理：
(1 - 1)^n = C(n,0)1^n(-1)^0 + C(n,1)1^(n-1)(-1)^1 + C(n,2)1^(n-2)(-1)^2 + ... + C(n,n-1)1^1(-1)^(n-1) + C(n,n)1^0(-1)^n
简化上述等式，我们得到：
0 = C(n,0) - C(n,1) + C(n,2) - C(n,3) + ... + (-1)^(n-1)C(n,n-1) + (-1)^nC(n,n)
注意到等式右边的每一项都与原始等式的每一项对应相等。由于等式右边与原始等式相等，且等式右边的和为0，我们可以得出结论：
C(n,1) - 2C(n,2) + 3C(n,3) - ... + (-1)^nC(n,n) = 0
因此，我们证明了所给等式。

Answer 2

先证明一个恒等式：k*C(n,k)=n*C(n-1,k-1)

证明：k*C(n,k)
=k*n!/[k!*(n-k)!]
=n!/[(k-1)!*(n-k)!]
=n*(n-1)!/{(k-1)!*[(n-1)-(k-1)]!}
=n*C(n-1,k-1)
再证明原题
C(n,1)-2*C(n,2)+3*C(n,3)+...+(-1)^(n-1)*n*C(n,n)
=∑(k=1->n) (-1)^(k-1)*k*C(n,k)
=∑(k=1->n) (-1)^(k-1)*n*C(n-1,k-1)
=n*∑(k=0->n-1) (-1)^k*C(n-1,k)
=n*[1+(-1)]^(n-1)
=n*0
=0
证毕