Question

实数x,y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0,则|3x+4y+8|的最小值为?

实数x,y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0,则|3x+4y+8|的最小值为?

Answer 1

除了楼上的方法之外，我个人还有两种方法来解，已知原方程可化为(x-1)^2+(y-1)^2=1。
方法1：圆心到直线3x+4y+8=0的距离D=|3*1+4*1+8|/5=3，所以圆上的点到该直线的最小距离d(min)=D-r=2，最大距离d(max)=D+r=4，因此所求|3x+4y+8|的最小值是10，最大值是20.这利用的是数形结合法，很简单。

方法2：利用柯西不等式。原理是[(a1)^2+(a2)^2]*[(b1)^2+(b2)^2]≥(a1b1+a2b2)^2，不等式等号成立的条件是a1b2=a2b1。对于本题而言，则有25=[(x-1)^2+(y-1)^2]*(9+16)≥[3*(x-1)+4*(y-1)]^2=(3x+4y-7)^2（这样凑为的只是与原题x、y前的系数一致，如果更改了其他数字就凑出那个数字的平方，所以此法适用范围更广）。所以|3x+4y-7|≤5，即2≤3x+4y≤12，因此10≤3x+4y+8≤20。利用柯西不等式间接地求得答案。方法任君挑选。

Answer 2

x^2+y^2-2x-2y+1=0
(x-1)^2+(y-1)^2=1
由此
设x=1+cosa y=1+sina

|3x+4y+8|
=|3(1+cosa)+4(1+sina)+8|
=|15+3cosa+4sina|
=|15+5sin(a+t)|
10<=15+5sin(a+t)<=20
所以|3x+4y+8|的最小值为10
此时x=2/5 y=1/5

Answer 3

11