Question

设a是常数,证明多项式f(x)=x^3-3x+a在[01]上不可能有两个不同的根

x^3指的是 X 的立方

Answer 1

f'=3x^2-3;
当 0=<x<=1 时,
-3=<f'<=0;且只有当x=1时，f'=0;
假设在01区间内，存在x1,x2两个点是方程的根；
则f(x1)=f(x2);
根据洛尔定理：
函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在该区间内有f(a)=f(b)，则存在x属于（a,b），使得f'(x)=0;
可知在（x1,x2）内，一定有f'(x)=0;
但是在[0,1]任一开区间内，都不可能成立上述情况。
故假设与已知矛盾。
所以函数是不可能有两个不同的根的。