如图,⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O,交⊙O于C、D两点,直径AB⊥CD,点M是直线CD上异于点C、O、D的一个
如图,⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O,交⊙O于C、D两点,直径AB⊥CD,点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点,AM所在的直线交于⊙O于点N,点P是直线CD上另...
如图,⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O,交⊙O于C、D两点,直径AB⊥CD,点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点,AM所在的直线交于⊙O于点N,点P是直线CD上另一点,且PM=PN. (1)当点M在⊙O内部,如图一,试判断PN与⊙O的关系,并写出证明过程;(2)当点M在⊙O外部,如图二,其它条件不变时,(1)的结论是否还成立?请说明理由;(3)当点M在⊙O外部,如图三,∠AMO=15°,求图中阴影部分的面积.
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(1)PN与⊙O相切。 (2)成立。 (3) ![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/42a98226cffc1e171c9ad1834990f603738de95f?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto) 。 |
分析:(1)根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可。 (2)根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°,进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案。 (3)首先根据外角的性质得出∠AON=30°,进而由 ![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/9213b07eca806538f1b9f9a194dda144ad348235?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto) ,利用扇形面积和三角形面积公式得出即可。 解:(1)PN与⊙O相切。证明如下: 连接ON,则∠ONA=∠OAN, ∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN。 ∵∠AMO=∠PMN,∴∠PNM=∠AMO。 ∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°。 ∵ON是⊙O的半径,∴PN与⊙O相切。 (2)成立。理由如下: 连接ON,则∠ONA=∠OAN。 ∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN。 在Rt△AOM中,∵∠OMA+∠OAM=90°, ∴∠PNM+∠ONA=90°。∴∠PNO=180°﹣90°=90°。 ∵ON是⊙O的半径,∴PN与⊙O相切。 (3)连接ON,由(2)可知∠ONP=90°, ∵∠AMO=15°,PM=PN, ∴∠PNM=15°,∠OPN=30°。 ∴∠PON=60°,∠AON=30°。 作NE⊥OD,垂足为点E, 则NE=ON?sin60° ![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/f703738da97739122e03d8d3fb198618367ae25f?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto) 。 ∴ ![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/3812b31bb051f81926005ef8d9b44aed2e73e75f?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto) 。 |
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