Question

（2013?河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，点P是斜边AB上一个动点，点D是CP的

（2013?河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，点P是斜边AB上一个动点，点D是CP的中点，延长BD至E，使DE=BD，连接AE．（1）求四边形PCEA的面积；（2）当AP的长为何值时，四边形PCEA是平行四边形；（3）当AP的长为何值时，四边形PCEA是直角梯形．

Answer 1

解：作CH⊥AB，垂足为H，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，
∴BC=2，
则CH=

3

．
连接EP，因为CD=DP，BD=DE，得?PBCE．则CE=PB，EP=CB=2．
（1）SAPCE＝(CE+AP)CH÷2＝AB?CH÷2＝2

3

，
四边形PCEA的面积=

1

2

（CE+AP）?CH=

1

2

AB?CH=2

3

；

（2）当AP=2时，BP=EC=AP，则AP=EC，且AP∥EC，
得?PCEA，∵AP=2=PC=EC，且EC∥AP；

（3）当AP=3时，P、H重合，EC∥AP，∠CPA=90°，
AP=3≠1=PB=EC，得直角梯形PCEA；
当AP=1时，△APE是直角三角形，∠EAP=90°，
EC∥AP，AP=1≠3=PB=EC，得直角梯形PCEA．