Question

若a>0,b>0,且1/a+1/b=ab 求a的三次方加b的三次方的最小值是否存在ab使得

a+3b=6并说明理由

Answer 1

(1)
1/a+1/b=ab
→a+b=a²b²≤[(a+b)/2]^4
→(a+b)[(a+b)³-16]≥0
∴(a+b)³≥16.
依权方和不等式得
a³+b³
=a³/1²+b³/1²
≥(a+b)³/(1+1)²
=16/4
=4，
故a³=b³=2时，
所求最小值为:4.

(2)
对不定方程a+3b=6观察知，
a=3，b=1是方程一组特解，
故原不定方程整数通解为
a=3-3t，b=1+t.
检验:(3-3t)+3(1+t)=6。