一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系
二阶线性齐次微分方程为齐,二阶线性非齐次微分方程为非。
(1)将y代入非齐次方程
证明方程成立的充要条件是,a+b+c=1,将y代入非齐次方程,证明方程成立的充要条件是,a+b+c=0。
(2)用上式的证明
a,b,c中有2个任意常数,而方程是二阶微分方程通解含有2个任意常数,所以,y是方程的通解。
扩展资料:
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的。特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解。
常微分方程在高等数学中已有悠久的历史,由于它扎根于各种各样的实际问题中,所以继续保持着前进的动力。
二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位,在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。比较常用的求解方法是待定系数法 、多项式法、常数变易法和微分算子法等。
二阶常系数齐次线性微分方程:
标准形式:y″+py′+qy=0。
特征方程:r^2+pr+q=0。
通解
1.两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
2.两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x)。
3.一对共轭复根:r1=α+iβ,r2=α-iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。
二阶常系数非齐次线性微分方程:
标准形式:y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)。
2024-04-02 广告
广告 您可能关注的内容 |