求齐次方程dy/dx=-(4x+3y)/(x+y)的通解
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∵dy/dx=-(4x+3y)/(x+y)=-(4+3y/x)/(1+y/x),
∴可令y/x=u,则:y=ux,∴dy/dx=u+xdu/dx,
∴u+xdu/dx=-(4+3u)/(1+u),
∴xdu/dx=-(5+4u)/(1+u),
∴[(1+u)/(5+4u)]du=-(1/x)dx,
∴∫[(1+u)/(5+4u)]du=-∫(1/x)dx,
∴∫[(5+4u-1)/(5+4u)]du=-4∫d(ln|x|),
∴∫[1-1/(5+4u)]du=-4ln|x|+C,
∴u-(1/4)ln|5+4u|=-4ln|x|+C,
∴y/x-(1/4)ln|5+4y/x|=-4ln|x|+C。
∴原微分方程的通解是:y/x-(1/4)ln|5+4y/x|=-4ln|x|+C。
∴可令y/x=u,则:y=ux,∴dy/dx=u+xdu/dx,
∴u+xdu/dx=-(4+3u)/(1+u),
∴xdu/dx=-(5+4u)/(1+u),
∴[(1+u)/(5+4u)]du=-(1/x)dx,
∴∫[(1+u)/(5+4u)]du=-∫(1/x)dx,
∴∫[(5+4u-1)/(5+4u)]du=-4∫d(ln|x|),
∴∫[1-1/(5+4u)]du=-4ln|x|+C,
∴u-(1/4)ln|5+4u|=-4ln|x|+C,
∴y/x-(1/4)ln|5+4y/x|=-4ln|x|+C。
∴原微分方程的通解是:y/x-(1/4)ln|5+4y/x|=-4ln|x|+C。
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