Question

求x+y的最大值，请问以下求解过程是否正确？

已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且 的最大值是（　　）求解过程（1） 把等式左、右平方得到：向量AP的平方=9x^2 + 18xy+ 25y^2（2）易得AP向量的平方取值范围是[0,25]（3）设x+y=t , 即一条直线， t是本直线的截距； 该直线方程与以上二次方程联立，二次方程的判别式等于0，即：25=9x^2 + 18xy+ 25y^2t=x+y可以求出t的最大和最小值±5/3

Answer 1

这个题用几何方法计算比较简单一些。
如图，作平行四边形PFAE，根据向量加法的几何定义有：
AP↑＝AF↑＋AE↑
因此有：
x＝AF↑ / AB↑＝NC↑ / BC↑
y＝AE↑ / AC↑＝BM↑ / BC↑
得到：
x＋y＝（NC↑ ＋BM↑）/ BC↑
＝（BC↑ ＋NM↑）/ BC↑
＝1 ＋ NM↑/ BC↑
由于BC长度固定，实际上就是要求NM的最大长度，又由于△PMN形状固定，NM最大时，PM也为最大，显然，当M为BC中点时，PM最大，此时E正好为AC中点（圆心）。
PE＝AC/2＝5/2
EM＝AB/2＝3/2
PM＝PE－EM＝1
因此：NM＝4/3
x＋y＝1 ＋ NM↑/ BC↑＝4/3

Answer 2

F(x,y)=xy+λ(x+y-1)
Fx=y+λ=0
Fy=x+λ=0
x+y=1
解得
x=y=1/2
由实际情况可知最大值肯定存在，且是唯一驻点，所以
此时取最大值=1/2×1/2=1/4.

追问

原题有设定的最大值选项有5/3，按照我的思路就选择了最大值5/3；结果一对照，出题人给出的参考答案是4/3