Question

高三立体几何题

1.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a ,侧棱PA垂直底面ABCD，问：（1）当 a＝4时，求证BC上存在一点M使得PM垂直DM．（2）若在BC是至少存在一点M使得PM垂直DM，求 a 的取值范围．
2.正三棱柱ABC－DEF中，P是AC中点，（1）求证AE平行平面BPF．（2）若AD：AB＝√2：2（PS：即根号2比2），求二面角P－BF－C的大小．
有图最好，没图说详细点也好．－＿－

Answer 1

1.当 a＝4时,可证得BC中点M满足AM垂直DM
由于PA垂直底面ABCD,所以PA垂直DM,
从而有DM垂直平面PAM,所以PM垂直DM
因此BC上存在一点M使得PM垂直DM
若在BC是至少存在一点M使得PM垂直DM
那就有AM垂直DM,
问题转化为若在BC是至少存在一点M使得AM垂直DM
即以为AD直径的圆与BC至少有一交点
得a/2>=2,a>=4
2.（1）连结EC，设EC与BF交点为O
因为矩形BEFC
所以O为BF中点
连结OP，因为P是AC中点
所以OP是三角形AEC中位线
所以OP平行AE，且OP在平面BPF内
所以AE平行平面BPF

Answer 2

2、
（做好图以后）
取DF中点G
连结EG，AG
EG平行于BP,AG平行于FP
所以面AGE平行于FPB
所以AE平行平面BPF

自C做FP垂线，垂足为H
BP垂直于面ACDF（正三棱柱，P为AC中点）
所以BP垂直于CH
又CH垂直于FP
所以CH垂直于面BPF
连结HB
则角CBH即为所求二面角P－BF－C的平面角
根据题中所给数据
得BC=2,CH=√6/3
sin角CBH=√6/6
角CBH=arcsin√6/6

（思路如此，数字可以在算算，如果不明白的话，联系）