已知函数f(x)=ln(x+根号1+x^2)
1)f(x)=ln(x+根号1+x^2)
f(-x)=ln(-x+根号1+x^2)
=ln1/(x+根号1+x^2)
=-ln(x+根号1+x^2)
=-f(x)
所以根据奇函数的定义,得函数是奇函数
2）f'(x)=1/[x+√(1+x平方)] ·[x+√(1+x平方)] ’
=1/[x+√(1+x平方)] [1+x/√(1+x平方)]
=1/[x+√(1+x平方)] [（x+√(1+x平方)）/√(1+x平方)]
=1/√(1+x平方)
＞0
概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
f(-x)=ln(-x+根号1+x^2)
=ln1/(x+根号1+x^2)
=-ln(x+根号1+x^2)
=-f(x)
所以
根据奇函数的定义，得
函数是奇函数。
2）
f'(x)=1/[x+√(1+x平方)] ·[x+√(1+x平方)] ’
=1/[x+√(1+x平方)] [1+x/√(1+x平方)]
=1/[x+√(1+x平方)] [（x+√(1+x平方)）/√(1+x平方)]
=1/√(1+x平方)
＞0
从而
函数在其定义域内是增函数。
应该紧扣奇函数定义
f(-x)=ln(-x+根号1+x^2)=ln(-x+根号1+x^2)(x+根号1+x^2)/(x+根号1+x^2)=ln1/(x+根号1+x^2)=ln(x+根号1+x^2)^-1=-ln(x+根号1+x^2)=-f(x).由奇函数定义可知f(x)是奇函数。
这一小节的关键在于分母有理化的那一步，分子、分母有根号的时候，感觉无从下手的时候，分母有理化是个不错的选择。
2.易知f(x)的定义域是R。用第一问的结论，只需证明函数在[0,正无穷）上递增即可。
可以用复合函数的调调性来解决。g（x）=根号1+x^2在[0,正无穷）上是增函数，h(x)=x在[0,正无穷）上也是增函数，I(x)=lnx在[0,正无穷）也是增函数，又复合函数的单调性易知f（x）在[0,正无穷）也是增函数，由奇函数的性质易知它在R上也是递增的。
用复合函数知识来解答的优点是计算量相对较少。用导数法或者定义法的话计算量就比较大。
