Question

△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且满足下列等式:(ab-1)2+(a-b)2=0

（1） 试判断此△ABC的形状；
（2） 如图，在（1）的条件下，作△ABC的角平分线AD，交BC于D点，若AC+CD=AB，试求：△ABC的面积。
（3） 如图，在（1）（2）条件下，△ABC和△CEF公点C，且△CEF中，∠ECF=90度，CE=CF，试判断AE与BF的大小及位置关系，并证明你的结论。

只需2,3题

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Answer 1

2、由第一步：a=b=1

即AC=BC=1

在AB上截取AE=AC，连接DE

∵AD平分∠BAC，那么∠CAD=∠EAD

AD=AD，AC=AE

∴△ACD≌△AED(SAS)

∴CD=DE

∠C=∠AED

∵AB=AE+BE=AC+BE

AB=AC+CD

∴BE=CD=DE

∴△BDE是等腰三角形

∴∠EDB=∠B

∴∠AED=∠C=2∠B

∵AC=BC，那么∠CAB=∠B

∠C+∠B+∠CAB=180°

那么2∠B+∠B+∠B=180°

∠B=45°

∴∠C=2∠B=90°

∴S△ABC=1/2AC×BC=1/2×1×1=1/2

3、∵∠ACB=∠ECF=90°

∴∠ACB+∠ACF=∠ACF=∠ECF

即∠BCF=∠ACE

∵AC=BC，CF=CE

∴△BCF≌△ACE(SAS)

∴AE=BF

∠CBF=∠CAE

即∠CBO=∠OAP

∵∠AOP=∠BOC(对顶角相等）

∴∠APO=∠BCO=∠ACB=90°(两个三角形中，有两组角对应相等，那么第三组角也对应相等）

那么AE⊥BF