Question

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.

Answer 1

见解析

证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD=OB，∠COD=90°。 ∵DH⊥AB，∴OH=OB。 ∴∠OHB=∠OBH。 又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC。 ∵在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°， 在Rt△GHB中，∠DHO+∠OHB=90°， ∴∠DHO=∠DCO。 根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可。