Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx-3a（a，b，c∈R且a≠0），当x=-1时，f（x）取到极大值2．（1）用a分别表示b和

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx-3a（a，b，c∈R且a≠0），当x=-1时，f（x）取到极大值2．（1）用a分别表示b和c；（2）当a=l时，求f（x）的极小值；（3）求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx-3a，∴f′（x）=3ax² +2bx+c．
由题意可得

f(?1)＝2 f′(?1)＝0

，即

?a+b?c?3a＝2 3a?2b+c＝0

，解得

b＝a+1 c＝2?a

．
（2）当a=l时，b=2，c=1，函数f（x）=x³ +2x² +x-3，
令f′（x）=3x² +4x+1=（3x+1）（x+1）=0，可得x=-1 x=-

1

3

．
在（-∞，-1）、（-

1

3

，+∞）上，f′（x）＜0，在（-1，-

1

3

）上f′（x）＞0，
故当 x=-

1

3

时，函数f（x）有极小值为f（-

1

3

）=?

82

27

．
（3）由（1）得f′（x）=3ax2+2（a+1）x+2-a=3a（x+1）（x-

a?2

3?a

），
令f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=

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