Question

（2013?南安市质检）如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C

（2013?南安市质检）如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC，连结AD、AF．（1）判断：△ABD、△ACF、△BCE是什么特殊三角形？（可直接写出答案）（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？请说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？请说明理由．

Answer 1

（1）△ABD、△ACF、△BCE都是等边三角形，
理由为：由旋转可知：AB=DB，∠ABD=60°，AC=FC，∠ACF=60°，BC=BE，∠CBE=60°，
∴△ABD、△ACF、△BCE都是等边三角形；

（2）当∠BAC=150°，且AB=AC时，四边形ADEF是正方形，
理由如下：
∵△DBE是由△ABC绕点B旋转60°而得到的，
∴DE=AC，
由（1）知△ACF为等边三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF，
同理可得，EF=AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
若∠BAC=150°，则∠DAF=360°-∠BAC-∠DAB-∠FAC=360°-150°-60°-60°=90°，
∴四边形ADEF是矩形，
又AB=AC，∴AD=AF，
则四边形ADEF是正方形；

（3）当∠BAC=60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，
理由如下：
若∠BAC=60°，则∠DAF=360°-∠BAC-∠DAB-∠FAC=360°-60°-60°-60°=180°．
此时，点A、D、E、F四点共线，
∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．