Question

如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为点E,且⊙O的半径为2，AB与CD两弦长的平方和等于28，则OE等于（

如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为点E,且⊙O的半径为2，AB与CD两弦长的平方和等于28，则OE等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 4

Answer 1

A

考点： 专题：探究型． 分析：如图，过O分别作AB、CD的垂线，垂足分别为N，M，然后连接OC，OB，根据已知条件就可以得到四边形OMEN是矩形，然后利用勾股定理可以得到OB 2 -BN 2 =ON 2 ，OC 2 -CM 2 =OM 2 ，同时根据垂径定理知道BN=  AB，CM=  CD，又OE 2 =ON 2 +MO 2 ，最后利用已知条件即可求出OE的长度． 解：如图，过O分别作AB、CD的垂线，垂足分别为N，M，然后连接OC，OB， ∵AB⊥CD， ∴四边形OMEN是矩形， ∴ON=ME，OM=EN， 在Rt△COM中，OC 2 -CM 2 =OM 2 ， 在Rt△BON中，OB 2 -BN 2 =ON 2 ， 而BN= AB，CM= CD， 又OE 2 =ON 2 +MO 2 ， ∴OE 2 =ON 2 +MO 2 =OC 2 -CM 2 +OB 2 -BN 2 =2OB 2 - （AB 2 +CD 2 ）， 又∵⊙O的半径为2，AB与CD两弦长的平方和等于28， ∴OE 2 =8-7=1， ∴OE=1．故应该选A 点评：此题综合考查了垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是多次利用勾股定理得到所求线段的表达式解决问题．