Question

质量为m带有半径为R的四分之一光滑圆弧形轨道的滑块A静止放在光滑水平面上，滑块A的底端M与水平面相切，

质量为m带有半径为R的四分之一光滑圆弧形轨道的滑块A静止放在光滑水平面上，滑块A的底端M与水平面相切，其半径OM垂直水平地面．质量为2m滑块B静止在水平面上的P点，P点左侧的水平面光滑，P点右侧的水平面粗糙，滑块B与该段水平面的摩擦系数为μ，一个质量也为m的小物块C从与圆心等高处开始自由下滑，最终滑块C与滑块B发生弹性正碰．滑块B、C均可视为质点．求：（1）若将滑块A固定，求滑块C滑到圆形槽底端M的一瞬间对圆形槽的压力；（2）若滑块A不固定，滑块C与滑块B发生弹性正碰后，滑块B的运动时间．

Answer 1

（1）滑块A固定，滑块C自由下滑时满足机械能守恒，有：
mgR=

1

2

m

v

2 0

滑块C滑到底端M，向心力向上，根据牛顿第二定律得：
N-mg=

mv 2 0

R

解得：N=3mg
根据牛顿第三定律得滑块C对底端M的压力N′=3mg
（2）若滑块C不固定，则滑块A下滑时，AC组成的系统满足机械能守恒，有：
mgR=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

滑块C滑到底端M的一瞬间，水平方向动量守恒，有：
mv₁=mv₂
解得滑块C的速度为v₁=

gR

，方向向右
解得滑块A的速度为v₂=

gR

，方向向左．
滑块C与滑块B发生弹性正碰，满足动量守恒和机械能守恒，有：
mv₁=mv₃+2mv₄

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 3

+

1

2

×2m

v

2 4

解得滑块C的速度v₃=-

1

3

v₁=-

1

3

gR

，方向向左
解得滑块B的速度v₄=

2

3

v₁=

2

3

gR

，方向向右
由于滑块C与B正碰后，滑块C向左的速度v₃小于滑块A的速度v₂，滑块C与A一直向左匀速运动，再也不会发生相互作用，
滑块B则向右进入粗糙水平面做减速运动直至停止．
滑块B在P点右侧的粗糙水平面滑动时的加速度为a=-μg．
可求得滑块B的运动时间为：
t=

0?v4

a

=

2

3μ

g R

．
答：（1）若将滑块A固定，求滑块C滑到圆形槽底端M的一瞬间对圆形槽的压力是3mg；
（2）若滑块A不固定，滑块C与滑块B发生弹性正碰后，滑块B的运动时间是

2

3μ

g R

．