Question

已知如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan∠ABC＝43，直线MN是梯形的对称轴，点P是线

已知如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan∠ABC＝43，直线MN是梯形的对称轴，点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合），射线BP交线段CD于点E，过点C作CF∥AB交射线BP于点F．（1）求证：PC2=PE?PF；（2）设PN=x，CE=y，试建立y和x之间的函数关系式，并求出定义域；（3）连接PD，在点P运动过程中，如果△EFC和△PDC相似，求出PN的长．

Answer 1

（1）∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵直线MN是梯形的对称轴，
∴PB=PC．
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB∥CF
∴∠ABP=∠F
∴∠F=∠DCP．
∵∠EPC=∠FPC，
∴△PEC∽△PCF，
∴PC²=PE?PF；

（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵tan∠ABC＝tan∠DCB＝

4

3

，
∴EG＝

4

5

y，GC＝

3

5

y．
由题意有EG∥MN，
∴

PN

EG

＝

BN

BG

，即

x

4 5 y

＝

4.5

9? 3 5 y

，
∴y=

15x

x+6

（0＜x≤3）；

（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
∴∠F=∠DPF，
∵AB∥CF，
∴∠ABF=∠DPF，
∴∠MDP=∠ABC，
∵tan∠MDP=tan∠ABC=

3

4

，
∴

1.5

4?x

＝

3

4

，
∴x=2．
（Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
则DH＝EH＝

5?y

2

．
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO=

DH

cos∠ODH

=

5?y

2

?

5

3

，
又∵

MO

MP

＝

4

3

，
∴x＝

25± 241

16

．
因为2都在定义域内，所以当x=

25± 241

16

或x=2时，△EFC和△PDC相似．