Question

如图等腰三角形ABC中，AB=AC，角A等于30度，圆O是三角形ABC的外接圆。以A B为边向外作

如图等腰三角形ABC中，AB=AC，角A等于30度，圆O是三角形ABC的外接圆。以A B为边向外作等边三角形ABD，做射线O D交A B于点E，交B C的延长线于点F ，在EF上截取EG等于DE，连接AG，CG

Answer 1

（1）证明：连接OA ,OB
因为三角形ABD是等边三角形
所以AD=BD=AB
角ADB=角ABD=角BAD=60度
因为OD=OD
OA=OB
所以三角形OAD全等三角形OBD (SSS）
所以角ODA=角ODB=1/2角ADB=30度
所以OD平分角ADB
所以OD是等边三角形ABD的角平分线，中线，高线
所以DF是等边三角形ABD的垂直平分线
所以DF垂直平分AB
(2)证明：连接OC ,BG
因为DF垂直平分AB
所以AD=AG
BD=BG
因为AD=BD=AB（已证）
所以AG=BG=AB
所以三角形ABG是等边三角形
所以角ABG=角BAG=角BAC+角GAC=60度
因为角A=角BAC=30度
所以角BAC=角GAC==1/2角BAG=30度
所以AC平分角BAG
所以AC是等边三角形BAG的角平分线，中垂线
所以AC垂直平分BG
所以BC=GC
所以角CBG=角CGB
因为AB=AC
所以角ABC-角ACB
因为角ABC+角ACB+角BAC=180度
所以角ABC=角ACB=75度
因为角CBG=角ABC-角ABG=75-60=15度
所以角BGC=15度
因为角CBG+角BGC+角BCG=180度
所以角BCG=150度
因为AB=AC
OA=OA=OB=OC
所以角OAB=角OBA
角OAC=角OCA
三角形OAB全等三角形OAC (SSS)
所以角OAB=角OAC=1/2角BAC=15度
所以角OBA=角OCA=15度
因为角OBC=角ABC-角OBA=75-15=60度
角OCB=角ACB-角OCA=75-15=60度
角OBC+角OCB+角BOC=180度
所以角BOC=60度
所以三角形OBC是等边三角形
所以OB=OC=BC
因为角OCG=角BCG-角OCB=150-60=90度
所以OC垂直CG
因为OC是圆的半径
所以CG与圆O相切
（3）解：延长AO交BC于N
因为AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形
因为角OAB=角OAC=1/2角BAC=15度（已证）
所以AN平分角BAC
所以AN是等腰三角形ABC的角平分线，垂线，中线
所以角ANB=90度
BN=CN=1/2BC
所以三角形ANB和三角形ONB是直角三角形
所以AB^2=AN^2+BN^2
OB^2=BN^2+ON^2
因为角OBC+角ANB+角BON=180度
角OBC=60度（已证）
所以角BON=30度
所以BN=1/2OB
因为BC=OB=OC=CG (已证）
BC=2
所以OB=CG=2
BN=1
ON=根号3
AB=根号6+根号2
因为AB=BD（已证）
所以BD=根号6+根号2
所以CG/BD=2/(根号6+根号2）=（根号6-根号2）/2
所以CG^2/BD^2=2-根号3
因为角GCF+角BCG=180度（平角等于180度）
角BCG=150度（已证）
所以角GCF=30度
因为角ODB=30度（已证）
所以角ODB=角GCF=30度
因为角CFD=角CFD
所以三角形CFG相似三角形DFB (AA)
所以CF/DF=CG/BD
所以CF^2/DF^2=CG^2/BD^2
所以CF^2/DF^2=2-根号3