Question

考研数学等价无穷小精度问题

红笔圈起部分，为什么他加减就能用等价无穷小了呢？

Answer 1

精确度问题是指：在计算极限时，若作等价无穷小代换，会涉及到无穷小的阶数，如果无穷小的阶数不够，则可能导致计算错误。

1）精确度问题主要出现在分式极限的计算中：如果分子包含加减运算，对分子作等价代换时，用到的无穷小的阶数必须达到分母的阶数，同样，对分母作等价代换时也是如此。

2）对于不是分式的极限计算问题，如果包含加减运算，则相加减的项作等价代换时，也要使其精确度（阶数）一致。

数学等价无穷小精度问题极限：

数学分析的基础概念。它指变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。

极限方法为数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。

Answer 2

不会。汤神说到本质上了。因为加减用的话，是因为不够阶数，所以才错。但是你可以把它展开到或者弄到足够的阶数，就不会错，换句话说就是精确度问题。给你一个简单的例子，x趋近0，分子是x-sinx，分母是x的3次方，你等价无穷小，分子就成了x-x＝0了。显然是错误。因为你这样子等价的话，分子应该是3阶的，不可能是1阶的，因为sinx的精确度在3阶之后，不可能1阶的。这也就是常说的等价无穷小不可以在减法使用。但是我偏要用啊，那你就要把它展开到3阶咯。汤神还说过，有些特殊情况(比如刚刚的x-sinx啊，x-tanx啊，它们之差是3阶，而不是1阶)。。。。所以还有不懂得话，可以直接使用麦克劳林做。答案是一样的，也就不存在等价无穷小不可以在减法使用的情况了。不知道你懂了没有。换句话说就是要想等价无穷小在减法用，直接麦克劳林展开吧