Question

∫(根号1+x分之一)dx用换元积分法，凑微分法

Answer 1

∫√(1+1/x)
dx
=∫√(x+1)
/√x
dx
=2∫√(x+1)
d(√x)
令√x=t，
那么√(x+1)
=√(t^2+1)
而∫√(t^2+1)
dt
=√(t^2+1)
*t
-
∫t
*d√(t^2+1)
=√(t^2+1)
*t
-
∫t^2/√(t^2+1)
*dt
=√(t^2+1)
*t
-
∫√(t^2+1)
-1/√(t^2+1)dt
于是2∫√(t^2+1)
dt=√(t^2+1)
*t
+∫1/√(t^2+1)dt
即∫√(t^2+1)
dt=t/2
*√(t^2+1)
+1/2
*ln|t+√(t^2+1)|
+C
所以代入√x=t，
原积分=2∫√(t^2+1)
dt=√x
*√(x+1)
+1/2
*|√x
+√(x+1)|
+C，C为常数